- "Η θεωρία της Γενικής και της Ειδικής Σχετικότητας" (εργασία του μαθητή Γ' τάξης Χαρίδημου Σπανουδάκη):

Χαίρετε. Ονομάζομαι Χαρίδημος Σπανουδάκης και είμαι μαθητής της Γ τάξης του γυμνασίου στο 3^ο Γυμνάσιο Ηλιουπόλεως. Σήμερα θα σας μιλήσω για την θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν. Αυτή η θεωρία προτάθηκε από τον Γερμανό φυσικό σε δύο εργασίες, στην ειδική και τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Ας πάρουμε τα πράγματα με χρονολογική σειρά.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας εκδόθηκε το 1905 και ανήκει στις εργασίες του Annus Mirabilis. Ισχύει μόνο για σώματα τα οποία εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Συνεπώς μπορεί να ισχύσει μόνο στον χωροχρόνο Minkowski, ενός εντελώς επιπέδου μοντέλου του χωροχρόνου. Δεν θεωρείται ότι το ένα σώμα είναι ακίνητο σε σχέση με το άλλο, αλλά ότι κινούνται σχετικά το ένα με το άλλο, απορρίπτοντας την ιδέα ότι υπάρχει ένα απόλυτο, δηλαδή ακίνητο, σύστημα αναφοράς, όπου θα μπορούσαν να μετρηθούν οι ταχύτητες. Βασίζεται στη γενικευμένη αρχή της σχετικότητας, δηλαδή στο ότι όλοι οι νόμοι της Φυσικής είναι αμετάβλητοι, σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και συγκεκριμένα, στο γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός στο κενό παραμένει σταθερή για όλους τους παρατηρητές, καθώς και στην ομοιογένεια και την ισοτροπία του χωροχρόνου, αν και δεν αναφέρεται στη θεωρία, αλλά εννοείται. Χρησιμοποιούνται έντονα οι μετασχηματισμοί Λορέντζ, οι οποίοι αποτελούν μια σειρά εξισώσεων, με τις οποίες μετασχηματίζουμε τις συντεταγμένες και τις ιδιότητες, όπως την ταχύτητα, ενός συμβάντος ή σώματος από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς σε ένα άλλο. Σε αυτή τη θεωρία ο Αϊνστάιν κατέρριψε την ύπαρξη του αιθέρα και πρότεινε την ένωση των τριών διαστάσεων του χώρου και μιας νέας διάστασης, αυτής του χρόνου. Όρισε τη ταχύτητα του φωτός ως το ανώτατο όριο ταχύτητας στο σύμπαν, μέσω του τύπου της ορμής. Αυτός είναι p=mγv, όπου p η ορμή, m η μάζα, γ ο παράγοντας Λορέντζ και v η ταχύτητα. Ο παράγοντας Λορέντζ είναι 1 προς ρίζα 1 πλην το πηλίκο του τετραγώνου της ταχύτητας δια του τετραγώνου της ταχύτητας του φωτός. Συνεπώς, εάν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός, το κλάσμα v^2/c^2 είναι μεγαλύτερο του 1. Έτσι, το ριζικό 1- v^2/c^2 είναι αρνητικός. Όμως ρίζα αρνητικού δεν ορίζεται, άρα, εάν η ταχύτητα υπερβεί την ταχύτητα του φωτός, ο παράγοντας Λορέντζ, και συνεπώς η ορμή, δεν ορίζεται. Όμως, αφού η ορμή πρέπει να ορίζεται, συμπεραίνουμε ότι κανένα σώμα δεν μπορεί να υπερβεί την ταχύτητα του φωτός.  Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, εάν η ταχύτητα του παρατηρητή είναι αρκετά μεγάλη, οι παρατηρήσεις που θα κάνει για τον χώρο και τον χρόνο διαφέρουν από αυτές άλλων παρατηρητών, οι οποίοι κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες. Αυτό γίνεται πιο εύκολα αντιληπτό με τη βοήθεια του ακόλουθου νοητικού πειράματος: υποθέτουμε ότι είμαστε σε ένα διαστημόπλοιο το οποίο μετακινείται με ταχύτητα 0.5c. Παίρνουμε ένα λέιζερ και το ανάβουμε, στοχεύοντας κατευθείαν επάνω, προς έναν καθρέπτη που έχουμε τοποθετήσει. Η ακτίνα θα ανακλαστεί και θα χτυπήσει έναν ανιχνευτή που έχουμε βάλει στο πάτωμα. Εάν όμως μας παρατηρούσε ένας άλλος αστροναύτης, ο οποίος είναι ακίνητος, κινείται με μικρότερη ταχύτητα από εμάς ή προς την αντίθετη κατεύθυνση, θα έβλεπε την ακτίνα να πηγαίνει διαγώνια προς το κάτοπτρο και ξανά διαγώνια προς τον ανιχνευτή. Εμείς και ο άλλος αστροναύτης θα δούμε την ακτίνα να διανύει διαφορετικές τροχιές, με διαφορετικά μήκη. Αφού η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή και για τους δύο παρατηρητές, ο χρόνος που πέρασε για να φτάσει το φως στον ανιχνευτή είναι διαφορετικός για εμάς και τον άλλον αστροναύτη. Αυτό το φαινόμενο, λέγεται διαστολή του χρόνου και είναι παρατηρήσιμο μόνο σε ταχύτητες κοντά στο c.  Επίσης, σε αυτή την θεωρία εμφανίστηκε για πρώτη φορά ο γνωστότατος τύπος E=mc^2, ο οποίος είναι στ’ αλήθεια E=mc^2/ρίζα 1 πλην το πηλίκο του τετραγώνου της ταχύτητας δια του τετραγώνου της ταχύτητας του φωτός. Παίρνει την απλή μορφή μόνο όταν το σώμα στο οποίο αναφέρεται είναι ακίνητο, δηλαδή όταν v=0, διότι τότε έχουμε v^2=0, συνεπώς, v^2/c^2=0, και ο τύπος γίνεται E=mc^2/ρίζα 1. Αφού η ρίζα 1 ισούται με το 1, καταλήγουμε στον γνωστό τύπο. Αυτός ο τύπος συνδέει τη μάζα και την ενέργεια, έννοιες που στην κλασσική φυσική θεωρούταν ξεχωριστές. Έτσι, συνέδεσε και την αρχή διατήρησης της ενέργειας με την αρχή διατήρησης της μάζας, ώστε να δημιουργήσει την αρχή διατήρησης της μάζας και της ενέργειας. Σύμφωνα με αυτή, η μάζα μπορεί να μετατραπεί σε ενέργεια και η ενέργεια σε μάζα. Ο Αϊνστάιν βρήκε ότι όσο πιο κοντά στο c ταξιδεύει ένα σώμα, τόσο αυξάνεται η μάζα του. Απέδειξε ότι εάν ένα σώμα κινούταν με ταχύτητα c, θα είχε άπειρη μάζα και άπειρη ενέργεια. Όμως, καθώς όσο αυξάνεται η μάζα, αυξάνεται η αδράνεια, είναι αδύνατο ένα σώμα το οποίο έχει μάζα να κινηθεί με την ταχύτητα του φωτός, αφού θα χρειαζόταν δύναμη απείρου μέτρου για να το επιταχύνει ώστε να φτάσει στο c. Συμπέρανε, λοιπόν, ότι τα φωτόνια δεν έχουν μάζα ηρεμίας. Καθώς η ειδική θεωρία της σχετικότητας εξετάζει σώματα τα οποία κινούνται με τρομακτικές ταχύτητες, φαίνεται να δημιουργεί κάποια παράδοξα. Λόγου χάρη, δύο γεγονότα τα οποία φαίνονται να είναι ταυτόχρονα ή συντοπικά σε ένα σύστημα αναφοράς, σε ένα άλλο μπορεί να μην είναι. Ωστόσο, εάν συμβαίνουν στο ίδιο σημείο και ταυτόχρονα σε ένα σύστημα αναφοράς, οι συντεταγμένες τους θα παραμείνουν ίδιες σε όλα τα συστήματα αναφοράς. Επιπλέον, οι ταχύτητες δεν προστίθενται απλώς, όπως στην κλασική φυσική, αλλά δίνεται από τον τύπο που βλέπετε στην διαφάνεια. Τι εννοώ με αυτό? Φανταστείτε πως είστε μέσα σε ένα τραίνο το οποίο τρέχει με ταχύτητα v ως προς τις ράγες ή το έδαφος. Αφού είστε μέσα στο τραίνο, και εσείς κινείστε με ταχύτητα v. Κρατάτε στα χέρια σας ένα μπαλάκι. Και αυτό κινείται με ταχύτητα v. Ανοίγετε το παράθυρο και το πετάτε. Το μπαλάκι αποκτά μια ταχύτητα χ ως προς το τραίνο ή ως προς εσάς. Εάν ένας παρατηρητής, ακίνητος ως προς το έδαφος το παρατηρούσε, θα έλεγε ότι το μπαλάκι έχει ταχύτητα v, όπως και το τραίνο, και μία ταχύτητα χ. Με άλλα λόγια, θα έχει ταχύτητα v+x ως προς το έδαφος. Στην θεωρία της σχετικότητας, αυτό δεν ισχύει. Δηλαδή, εάν η ταχύτητα v είναι αρκετά μεγάλη, τότε ισχύει ο περίπλοκος τύπος για τον υπολογισμό της ταχύτητας. Σε αυτό το παράδειγμα, το τραίνο είναι το 1^ο σύστημα αναφοράς και το έδαφος το 2^ο. Ένα άλλο αποτέλεσμα που περιγράφει η ειδική θεωρία της σχετικότητας είναι ότι, αν πλησιάσουμε σχετικιστικές ταχύτητες, δηλαδή ταχύτητες με τις οποίες ισχύει η θεωρία της σχετικότητας, βιώνουμε δύο φαινόμενα, την διαστολή του χρόνου και την συστολή του μήκους. Τι είναι αυτά τώρα? Όσο πιο κοντά στην ταχύτητα του φωτός είμαστε, τόσο πιο αργά φαίνεται να περνάει για εμάς ο χρόνος. Όλοι έχουμε ακουστά το παράδοξο των διδύμων, όπου έχουμε δύο 20χρονους διδύμους, τον Γιάννη και τον Κώστα. Ο Γιάννης ανεβαίνει σε ένα διαστημόπλοιο το οποίο φεύγει με σχετικιστική ταχύτητα. Πηγαίνει σε ένα αστέρι και αμέσως γυρίζει πίσω. Όταν φτάνει στη Γη, αντί να δει ότι πέρασε ένας χρόνος, όπως πέρασε για αυτόν, βρίσκει ότι πέρασαν 60. Ποιο είναι το παράδοξο, λοιπόν? Για αναρωτηθείτε λίγο, ποιος από τους δύο ταξίδεψε με μεγάλη ταχύτητα? Μα φυσικά, αυτός που ήταν στο διαστημόπλοιο. Ναι, αλλά εάν πούμε ότι το διαστημόπλοιο είναι ακίνητο και όλα τα άλλα κινούνται? Δεν θα έπρεπε να γεράσει ο Γιάννης? Το πρόβλημα λύνεται εύκολα από την ειδική θεωρία την σχετικότητας. Ο Γιάννης άλλαξε κινητική κατάσταση δυο φορές, μία όταν έφυγε από τη Γη και μία όταν έφυγε από το άστρο, ενώ ο Κώστας όχι. Πώς όμως γίνεται αυτό? Γιατί νιώθουμε τον χρόνο να περνάει πολύ πιο αργά όταν τρέχουμε με μεγάλες ταχύτητες? Οι διαδικασίες μέσα στο σώμα μας συμβαίνουν σε πάρα πολύ μικρό επίπεδο, στο κβαντικό, το οποίο είναι ακόμη μικρότερο από το ατομικό. Σε αυτό το επίπεδο, τα πάντα είναι αποτελέσματα δυνάμεων. Οι δυνάμεις μεταφέρονται με σωματίδια, τα οποία συνήθως μεταφέρονται με την ταχύτητα του φωτός. Ας ξαναδούμε το παράδειγμα με τον καθρέπτη. Όσο αυξήθηκε η ταχύτητα με την οποία κινούμαστε, τόσο αυξήθηκε το διάστημα το οποίο έπρεπε να διανύσει το φως. Τώρα όμως, δεν έχουμε ακτίνες και καθρέπτες, αλλά σωματίδια δυνάμεων. Όσο πιο γρήγορα πηγαίνουμε, τόσο μεγαλύτερη απόσταση πρέπει να διανύσουν αυτά τα σωματίδια. Συνεπώς, κάνουν περισσότερη ώρα για να φτάσουν και, κατά συνέπεια, οι λειτουργίες του σώματός μας εκτελούνται με πιο αργό ρυθμό. Έτσι, νιώθουμε τον χρόνο να περνάει πιο αργά. Αυτό συμβαίνει και σε όλα τα σώματα. Λέμε λοιπόν, ότι ο χρόνος περνάει πιο αργά όσο αυξάνεται η ταχύτητα. Αυτό έχει πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα στα διαστρικά και διαγαλαξιακά ταξίδια. Εάν θεωρήσουμε ότι ένας αστροναύτης αρχίσει το ταξίδι στα 20 και πεθάνει στα 80, θεωρητικά, είναι αδύνατο γι’ αυτόν να ταξιδέψει παραπάνω από 60 έτη φωτός μακριά, αφού δεν μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός. Όμως, λόγω της διαστολής του χρόνου, ο χρόνος στη Γη θα φαίνεται να περνάει πολύ πιο γρήγορα απ’ ότι περνάει για τον αστροναύτη. Έτσι, εάν αυτός επιταχύνει με σταθερό ρυθμό 1 g, δηλαδή 9,8 m/s^2, μπορεί να ταξιδέψει πολύ μεγάλες αποστάσεις. Σε ένα ταξίδι 20 χρόνων, για αυτόν, κατά τη διάρκεια του οποίου 5 χρόνια θα επιταχύνει προς το άστρο, 5 θα επιβραδύνει, 5 θα επιταχύνει για να γυρίσει στη Γη και 5 και θα επιβραδύνει, θα μπορεί να διανύσει 165 έτη φωτός και να γυρίσει, διανύοντας άλλα τόσα, για να διαρκέσει το ταξίδι 335 γήινα χρόνια. Ένα ταξίδι 28 χρόνων, γι’ αυτόν, όπου 14 θα επιτάχυνε και 14 θα επιβράδυνε, θα ήταν αρκετό για να φτάσει στον γαλαξία της Ανδρομέδας, 2 εκατομμύρια έτη φωτός μακριά, μετά από εκατομμύρια γήινα χρόνια. Ένα άλλο φαινόμενο που παρατηρείται σε τέτοιες ταχύτητες είναι η συστολή του μήκους. Δηλαδή, με απλά λόγια, όσο μεγαλώνει η ταχύτητα ενός αντικειμένου, τόσο μικραίνουν οι διαστάσεις του.

Η θεωρία αυτή όμως, έχει κάποια προβλήματα. Ισχύει για έναν πολύ περιορισμένο αριθμό σωμάτων, καθώς για να ισχύσει θα πρέπει να μην επηρεάζονται τα σώματα από την βαρύτητα, καθόσον αυτή καμπυλώνει τον χωροχρόνο και η κίνηση σταματάει να είναι ευθύγραμμη. Επίσης, εάν τα σώματα επιταχύνουν, επιβραδύνουν ή αλλάξουν κατεύθυνση, η ειδική θεωρία της σχετικότητας παύει να ισχύει.

Γι’ αυτόν τον σκοπό, το 1915, ο Αϊνστάιν διατύπωσε την γενική θεωρία της σχετικότητας, η οποία ισχύει για όλα τα σώματα, ανεξαρτήτως βαρύτητας ή επιτάχυνσης. Με την εισαγωγή αυτής της θεωρίας, η ειδική σχετικότητα και η κλασική φυσική έγιναν υποπεριπτώσεις της γενικής σχετικότητας, για σώματα τα οποία κινούνται με σχετικιστικές ταχύτητες και εκτελούν Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση (ΕΟΚ) και για σώματα τα οποία κινούνται πολύ αργά σε σχέση με το c, αντίστοιχα. Παίρνει την μορφή εξισώσεων πεδίου, δηλαδή εξισώσεων οι οποίες εξακριβώνουν ιδιότητες πεδίων. Το πεδίο το οποίο περιγράφεται, είναι ο γνωστός χωροχρόνος. Οι υπόψη εξισώσεις περιγράφουν την καμπύλωση του χωροχρόνου και τις αλληλεπιδράσεις μάζας και χωροχρόνου, τις οποίες αντιλαμβανόμαστε ως βαρύτητα. Για να το καταλάβουμε καλύτερα, φανταστείτε ένα ιδιαίτερα ελαστικό τραπεζομάντηλο. Εσείς και ένα άλλο άτομο το κρατάτε από τις τέσσερεις άκρες. Το τραπεζομάντηλο είναι ο χωροχρόνος. Εάν πάνω στο ύφασμα τοποθετήσουμε ένα πορτοκάλι, αυτό θα καμπυλώσει το ύφασμα. Έστω ότι το πορτοκάλι είναι ο Ήλιος. Όπως το πορτοκάλι καμπυλώνει το ύφασμα, έτσι και ο Ήλιος καμπυλώνει τον χωροχρόνο. Εάν τοποθετήσουμε και ένα φουντούκι πάνω στο ύφασμα, τότε, λόγω της καμπύλωσης, αυτό θα πάει αμέσως δίπλα στο πορτοκάλι. Έστω ότι το φουντούκι είναι η Γη. Όπως το φουντούκι «έλκεται» από το πορτοκάλι, έτσι η Γη έλκεται από τον Ήλιο. Ο Αϊνστάιν είχε ήδη εισάγει την έννοια του χωροχρόνου με την ειδική θεωρία της σχετικότητας, άλλα με τη γενική σχετικότητα μπόρεσε να περιγράψει την βαρύτητα ως την καμπύλωση του χωροχρόνου. Υποστήριξε, ότι ακόμη και το φως επηρεάζεται από την βαρύτητα, κάτι το οποίο αποδείχθηκε λίγα χρόνια αργότερα. Οι εξισώσεις πεδίου τις οποίες χρησιμοποίησε, δείχνουν τον τρόπο με τον οποίο o χωροχρόνος, δηλαδή η βαρύτητα, αντιδρά στη μάζα και μπορούν να αναπαραστήσουν το σχήμα του χωροχρόνου. Σε αυτή τη θεωρία εισήγαγε την αρχή της συνδιακύμανσης, ουσιαστικά μια επαναδιατύπωση και γενίκευση της γενικευμένης αρχής της σχετικότητας, δηλαδή ότι οι νόμοι της φυσικής είναι αμετάβλητοι σε όλες τις συντεταγμένες, ανεξαρτήτως επιτάχυνσης. Η γεωμετρία του Ευκλείδη, αντικαθίσταται με την γεωμετρία του Riemann, δηλαδή τη γεωμετρία που ισχύει στο εξωτερικό των κύκλων, καθώς δεν υπάρχουν ευθείες στο σύμπαν, παρά μόνο στον υποθετικό χωροχρόνο Minkowski, καθόσον η βαρύτητα καμπυλώνει τον χωροχρόνο. Ως αποτέλεσμα της θεωρίας του, προέβλεψε διάφορα φαινόμενα, όπως η βαρυτική διαστολή του χρόνου, δηλαδή το ότι όσο πιο κοντά είναι ο παρατηρητής σε μια πηγή καμπύλωσης, όσο περισσότερο δηλαδή, επηρεάζεται από τη βαρύτητα, τόσο πιο γρήγορα περνάει ο χρόνος. Αυτό έχει κάποια πολύ σημαντικά αποτελέσματα. Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπεται από ένα σώμα το οποίο βρίσκεται σε ένα βαρυτικό πεδίο, τείνει να μετακινείται προς το ερυθρό, όσο απομακρυνόμαστε από το πεδίο. Αυτό εξηγείται εύκολα, εάν λάβουμε υπ’ όψιν μας την βαρυτική διαστολή του χρόνου, καθώς και το γεγονός ότι η συχνότητα των κυμάτων, που διαχωρίζει τα χρώματα του φάσματος, εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο. Όσο πιο κοντά στο ιώδες κινούμαστε, τόσο μεγαλύτερη η συχνότητα, δηλαδή τόσο περισσότερες ταλαντώσεις ανά δευτερόλεπτο, παρατηρούμε. Είναι λογικό, αφού ο χρόνος περνάει πιο γρήγορα, όσο πιο έντονη η επιρροή της βαρύτητας, να παρατηρούμε αυτό το φαινόμενο. Επίσης, ένα άλλο φαινόμενο το οποίο προβλέπεται από τη γενική σχετικότητα είναι τα βαρυτικά κύματα, τα οποία διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός. Δημιουργούνται από τα σώματα, των οποίων η κίνηση βασίζεται στην επιτάχυνση και εξαρτώνται από την ταχύτητα και τη μάζα των σωμάτων. Δεν δημιουργούνται, όμως, όταν η κίνηση είναι σφαιρικά (όπως μία σφαίρα που διαστέλλεται και συστέλλεται) ή περιστροφικά συμμετρική (όπως μία σφαίρα που περιστρέφεται). Παραδείγματος χάριν, δύο σώματα που περιστρέφονται το ένα γύρω από το άλλο, όπως ένας πλανήτης και ένας δορυφόρος, ένας πλανήτης και ένα άστρο, δύο άστρα ή δύο μαύρες τρύπες, θα εκπέμπουν βαρυτικά κύματα. Το πόσο αισθητά θα είναι αυτά τα κύματα, εξαρτάται από το πόσο γρήγορα θα περιστρέφονται και το πόσο μαζικά είναι τα σώματα. Οι υπερκαινοφανείς αστέρες, συνήθως εκπέμπουν βαρυτικά κύματα, εκτός εάν η έκρηξη είναι ισότροπη. Ένα άλλο προβλεπόμενο από την θεωρία της σχετικότητας φαινόμενο, είναι ο λεγόμενος βαρυτικός φακός. Ουσιαστικά είναι η καμπύλωση του φωτός από σώματα μεγάλης μάζας. Όταν περνάει το φως από ένα σώμα κοντά σε σώματα μεγάλης μάζας, όπως οι μελανές οπές, αναγκάζεται και αυτό να μεταβεί από τον καμπυλωμένο χωροχρόνο δίπλα στο σώμα. Έτσι, η εικόνα του σώματος παραμορφώνεται και φαίνεται σαν ένα δαχτυλίδι γύρω από το σώμα μεγάλης μάζας.

Θα ήθελα να κλείσω με μια συνομιλία μεταξύ του Άλμπερτ Αϊνστάιν και του Τσάρλι Τσάπλιν.  Ο Αϊνστάιν συγχαίροντας τον ηθοποιό του είπε:

«Αυτό που θαυμάζω περισσότερο σε εσένα είναι η καθολικότητά σου. Δεν λες ούτε μία λέξη, αλλά όλοι σε καταλαβαίνουν».

Ο ηθοποιός απάντησε:
«Είναι αλήθεια. Αλλά η δόξα σου είναι μεγαλύτερη; Όλοι σε θαυμάζουν ενώ κανείς δεν σε καταλαβαίνει».

Ελπίζω, με την εργασία μου σήμερα, να έκανα αυτόν τον ισχυρισμό του Τσάρλι Τσάπλιν λίγο πιο αναληθή.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ POWERPOINT